Question

如圖，AB是⊙O的弦，C、F是⊙O上的點，OC垂直于弦AB，過F點作⊙O的切線交AB的延長線于D，連接CF交AB于E點．
（I）求證：DE²=DB•DA．
（II）若BE=1，DE=2AE，求DF的長．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識點是的切線的性質定理及與圓有關的比例線段，（1）要證明DE²=DB•DA．由切割線定理，我們可得DF²=DB•DA．故可以轉化為DE=DF．連接OF后，根據周的等量關系，證明出∠DEF=∠DFE即可得到結論．
（2）由BE=1，DE=2AE，結合（1）的結論，設AE=x，我們可以得到一個關于x的方程，解方程即可求解．
解答：解：（I）連接OF，∵OC=OF，
∵∠OCF=∠FOC，
∵DF是⊙O的切線，
∴OF⊥DF，
又∵OC垂直于弦AB，
∴∠AEC=∠DFE，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF，∵DF是⊙O的切線，
∴DF²=DB•DA，∴DE²=DB•DA

（II）設AE=x，
則DE=2x，DF=2x，
∵DF²=DB•DA，
∴（2x）²=3x（2x-1），
解得2x=3，
∴DF的長為3．
點評：本題是考查同學們推理能力、邏輯思維能力的好資料，題目以證明題為主，特別是一些定理的證明和用多個定理證明一個問題的題目，我們注意熟練掌握：1．射影定理的內容及其證明； 2．圓周角與弦切角定理的內容及其證明；3．圓冪定理的內容及其證明；4．圓內接四邊形的性質與判定．