Question

2．已知等比數(shù)列{a_n}的第2項(xiàng)、第5項(xiàng)分別為二項(xiàng)式（2x+1）⁵展開式的第5項(xiàng)、第2項(xiàng)的系數(shù)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若存在實(shí)數(shù)λ，使$\frac{λ}{{2{a_n}}}＞\frac{1}{a_n}-\frac{1}{S_n}$恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出二項(xiàng)式（2x+1）⁵展開式的通項(xiàng)公式，可得a₂，a₅，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公比，即可得到所求；
（2）運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，可得S_n，再由參數(shù)分離，化簡(jiǎn)可得λ＞1-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，求出不等式右邊的范圍，即可得到所求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：（1）二項(xiàng)式（2x+1）⁵展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{5}^{r}$（2x）^5-r，
由題意可得a₂=${C}_{5}^{4}$•2=10，a₅=${C}_{5}^{1}$•2⁴=80，
設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則q³=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=8，解得q=2，
a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=5，
則an=5•2^n-1，n∈N*；
（2）由（1）可得前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{5（1-{2}^{n}）}{1-2}$=5（2ⁿ-1），
若存在實(shí)數(shù)λ，使$\frac{λ}{{2{a_n}}}＞\frac{1}{a_n}-\frac{1}{S_n}$恒成立，
即為$\frac{λ}{10•{2}^{n-1}}$＞$\frac{1}{5•{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{5（{2}^{n}-1）}$恒成立．
化簡(jiǎn)可得λ＞2-$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-1}$，即λ＞1-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，
由n∈N*，可得$\frac{1}{{2}^{n}-1}$∈（0，1]，
即有1-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$∈[0，1），
則當(dāng)λ≥1時(shí)，使$\frac{λ}{{2{a_n}}}＞\frac{1}{a_n}-\frac{1}{S_n}$恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用：求指定項(xiàng)的系數(shù)，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，以及不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．