已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，a，b，c為實數(shù)，且當|x|≤1時，恒有|f（x）|≤1；
（I） 證明：|c|≤1；
（II）證明：|a|≤2；
（III）若g（x）=λax+b（λ＞1），求證：當|x|≤1時，|g（x）|≤2λ．

解：（I）∵當|x|≤1時，
恒有|f（x）|≤1；
∴|f（0）|≤1，
∴c≤1
（II）∵f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c，
∴2a=f（1）+f（-1）-2f（0）
又∵|x|≤1時，|f（x）|≤1，
∴|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，
|f（0）|≤1，
∴|2a|=|f（1）+f（-1）-2f（0）|≤|f（1）|+|f（-1）|+2|f（0）|≤4，
∴|a|≤2．
（III）∵f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c
由
∴=
=，
∵λ≥1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，|f（0）|≤1，
∴，
∴．
分析：（I）當|x|≤1時，恒有|f（x）|≤1．由此能夠證明c≤1．
（Ⅱ）由f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c，知2a=f（1）+f（-1）-2f（0）．又由|x|≤1時，|f（x）|≤1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，|f（0）|≤1．由此能夠證明|a|≤2．
（Ⅲ）由f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c．由．由一次函數(shù)的單調(diào)性能夠證明|g（x）|≤2λ．
點評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地運用不等式的性質(zhì)．
練習冊系列答案
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已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
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（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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