如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切．

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知點P(0，1)，Q(0，2)．設(shè)M、N是橢圓C上關(guān)于y軸對稱的不同兩點，直線PM與QN相交于點T，求證：點T在橢圓C上．

 

（1）＝1.（2）見解析

【解析】(1)【解析】
由題意知b＝＝.

因為離心率e＝＝，所以＝＝.所以a＝2.

所以橢圓C的方程為＝1.

(2)證明：由題意可設(shè)M，N的坐標分別為(x0，y0)，(－x0，y0)，則直線PM的方程為y＝x＋1，①

直線QN的方程為y＝x＋2.②

(證法1)聯(lián)立①②解得x＝，y＝，即T.

由＝1可得＝8－4.

因為

＝＝1，所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上．

(證法2)設(shè)T(x，y)．聯(lián)立①②解得x0＝，y0＝.

因為＝1，所以＝1.整理得＝(2y－3)2，所以－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＝1.

所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上．

 

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(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)P為橢圓右準線上不同于點(4，0)的任意一點，若直線BP與橢圓相交于兩點B、N，求證：∠NAP為銳角．

 

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