Question

棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱C₁D₁的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱BC的中點(diǎn)
（1）求證AE⊥DA₁
（2）求在線段AA₁上找一點(diǎn)G，使AE⊥面DFG．

Answer 1

分析：（1）連接AD₁，BC₁，利用DA₁⊥AD₁，DA₁⊥AB，又AB∩AD₁=A，說明DA₁⊥面ABC₁D₁，然后證明DA₁⊥AE
（2）取CD的中點(diǎn)H，連AH，EH．證明DF⊥平面AHE，然后證明AE⊥面DFG，即可說明所求G點(diǎn)即為A₁點(diǎn)．

解答：解：（1）證明：連接AD₁，BC₁，由正方體的性質(zhì)可知 DA₁⊥AD₁，DA₁⊥AB，又AB∩AD₁=A
∴DA₁⊥面ABC₁D₁又AE?面ABC₁D₁
∴DA₁⊥AE
（2）所求G點(diǎn)即為A₁點(diǎn)，證明如下：
由（1）知 AE⊥DA₁取CD的中點(diǎn)H，連AH，EH．由DF⊥AH，DF⊥EH
AH∩EH=H     
可證DF⊥平面AHE
∴DF⊥AE
又∵DF∩A₁D=D
∴AE⊥面DFA₁，即AE⊥面DFG

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，考查邏輯推理能力，空間想象能力．