如果有窮數(shù)列a1,a2,a3,…,am(m為正整數(shù))滿足a1=am,a2=am-1,…,am=a1.即ai=am-i+1(i=1,2,…,m),我們稱其為“對稱數(shù)列“例如,數(shù)列1,2,5,2,1與數(shù)列8,4,2,2,4,8都是“對稱數(shù)列”.設{bn}是項數(shù)為2m(m>1,m∈N*)的“對稱數(shù)列”,并使得1,2,22,23,…,2m-1依次為該數(shù)列中連續(xù)的前m項,則數(shù)列{bn}的前2010項和S2010可以是
(1)22010-1     (2)21006-2       (3)2m+1-22m-2010-1
其中正確命題的個數(shù)為( 。
A、0B、1C、2D、3
分析:由題意由于新定義了對稱數(shù)列,且已知數(shù)列bn是項數(shù)為不超過2m(m>1,m∈N*)的“對稱數(shù)列”,并使得1,2,22,…,2m-1依次為該數(shù)列中前連續(xù)的m項,故數(shù)列bn的前2010項利用等比數(shù)列的前n項和定義直接可求(1)(2)的正確與否;對于(3),先從等比數(shù)列的求和公式求出任意2m項的和在利用減法的到需要的前201008項的和,即可判斷.
解答:解:因為數(shù)列bn是項數(shù)為不超過2m(m>1,m∈N*)的“對稱數(shù)列”,并使得1,2,22,…,2m-1依次為該數(shù)列中前連續(xù)的m項,故數(shù)列bn的前2010項可以是:①1,2,22,23…,21005,21005,…,22,1.
所以前2010項和S2010=2×
1×(1-21005)
1-2
=2(21005-1),所以(1)錯(2)對;
對于 (3)1,2,22,…2m-2,2m-1,2 m-2,…,2,1,1,2,…2m-2,2m-1,2 m-2,…,2,1…m-1=2n+1,利用等比數(shù)列的求和公式可得:S2010=2m+1-22m-2010-1,故(3)正確.
故為C
點評:本題以新定義對稱數(shù)列為切入點,運用的知識都是數(shù)列的基本知識:等差數(shù)列的通項及求和公式,等比數(shù)列的通項及求和公式,還體現(xiàn)了分類討論在解題中的應用.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如果有窮數(shù)列a1,a2,…,an(n∈N*),滿足條件:a1=an,a2=an-1,…,an=a1,即ai=an-i+1(i=1,2,…,n),我們稱其為“對稱數(shù)列”.例如:數(shù)列1,2,3,4,3,2,1就是“對稱數(shù)列”.已知數(shù)列bn是項數(shù)為不超過2m(m>1,m∈N*)的“對稱數(shù)列”,并使得1,2,22,…,2m-1依次為該數(shù)列中前連續(xù)的m項,則數(shù)列bn的前2008項和S2008可以是:①22008-1;②2(22008-1);③3•2m-1-22m-2009-1;④2m+1-22m-2008-1.
其中命題正確的個數(shù)為( 。
A、1B、2C、3D、4

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如果有窮數(shù)列a1,a2,…,an(n∈N*)滿足條件:a1=an,a2=an-1,…,an=a1,即ai=an-i+1,(i=1,2,…,n)我們稱其為“對稱數(shù)列”.例如:數(shù)列1,2,3,3,2,1 和數(shù)列1,2,3,4,3,2,1都為“對稱數(shù)列”.已知數(shù)列{bn}是項數(shù)不超過2m(m>1,m∈N*)的“對稱數(shù)列”,并使得1,2,22,…,2m-1依次為該數(shù)列中連續(xù)的前m項,則數(shù)列{bn}的前2009項和S2009所有可能為:①22009-1  ②2(22009-1)③3•2m-1-22m-2010-1  ④2m+1-22m-2009-1;其中正確的有( 。﹤.
A、1B、2C、3D、4

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如果有窮數(shù)列a1,a2,…,an(n∈N*)滿足條件:a1=an,a2=an-1,…,an=a1,即ai=an-i+1,(i=1,2,…,n)我們稱其為“對稱數(shù)列”.例如:數(shù)列1,2,3,3,2,1 和數(shù)列1,2,3,4,3,2,1都為“對稱數(shù)列”.已知數(shù)列{bn}是項數(shù)不超過2m(m>1,m∈N*)的“對稱數(shù)列”,并使得1,2,22,…,2m-1依次為該數(shù)列中連續(xù)的前m項,則數(shù)列{bn}的前2009項和S2009所有可能的取值的序號為( 。
①22009-1   ②2(22009-1)③3•2m-1-22m-2010-1   ④2m+1-22m-2009-1.

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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年江西省高三第五次月考理科數(shù)學 題型:填空題

如果有窮數(shù)列a1,a2,…an(a∈N*)滿足條件:,我們稱

其為“對稱數(shù)列”,例如:數(shù)列1,2,3,3,2,1和數(shù)列1,2,3,4,3,2,1都為“對稱數(shù)列”。已知數(shù)列{bn}是項數(shù)不超過2m(m>1,m∈N*)的“對稱數(shù)列”,并使得1,2,22,……,2m-1依次為該數(shù)列中連續(xù)的前m項,則數(shù)列的前2009項和S2009所有可能的取值的序號為            。

①  22009—1    ②2·(22009—1)    ③3×2m-1—22m-2010—1    ④2m+1—22m-2009—1

 

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