精英家教網(wǎng)點(diǎn)A、B分別是橢圓
x2
36
+
y2
20
=1長(zhǎng)軸的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)．點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF．
（1）求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值．
分析：（1）先求出PA、F的坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)，求出
AP
、
FP
的坐標(biāo)，由題意可得
x2
36
+
y2
20
=1
(x+6)(x-4)+y2=0
，且y＞0，
解方程組求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）求出直線AP的方程，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，由M到直線AP的距離等于|MB|，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再求出橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的
距離d的平方得解析式，配方求得最小值．
解答：解：（1）由已知可得點(diǎn)A（-6，0），F(xiàn)（4，0），設(shè)點(diǎn)P（x，y），則
AP
=（x+6，y），
FP
=（x-4，y）．
由已知可得
x2
36
+
y2
20
=1
(x+6)(x-4)+y2=0
，2x2+9x-18=0，解得x=
3
2
，或x=-6．
由于y＞0，只能x=
3
2
，于是y=
5
3
2
．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（
3
2
，
5
3
2
）．
（2）直線AP的方程是 
y-0
5
3
2
-0
=
x+6
3
2
+6
，即 x-
3
y+6=0．  
設(shè)點(diǎn)M（m，0），則M到直線AP的距離是
|m+6|
2
．
于是
|m+6|
2
=|6-m|，又-6≤m≤6，解得m=2，故點(diǎn)M（2，0）．
設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)M的距離為d，有 d2=（x-2）2+y2 =x2-4x+4+20-
5
9
x2 =
4
9
（x-
9
2
）2+15，
∴當(dāng)x=
9
2
時(shí)，d取得最小值
15
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，是解題的難點(diǎn)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

點(diǎn)A、B分別是橢圓
x2
36
+
y2
20
=1長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF．求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為
3
2
，點(diǎn)A，B分別是橢圓C的長(zhǎng)軸、短軸的端點(diǎn)，點(diǎn)O到直線AB的距離為
6
5
5
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)E（3，0），設(shè)點(diǎn)P、Q是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足EP⊥EQ，求
EP
•
QP
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知中心在原點(diǎn)O、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為
3
2
，點(diǎn)A、B分別是橢圓C的長(zhǎng)軸、短軸的端點(diǎn)，點(diǎn)O到直線AB的距離為
6
5
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)E（3，0），設(shè)點(diǎn)P、Q是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足EP⊥EQ，求
EP
•
QP
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•徐州一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距為2，且過(guò)點(diǎn)(
2
，
6
2
)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點(diǎn)A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)P是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線AP交l于點(diǎn)M．
（ⅰ）設(shè)直線OM的斜率為k1，直線BP的斜率為k2，求證：k1k2為定值；
（ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)M垂直于PB的直線為m．求證：直線m過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
2
3
，橢圓G上的點(diǎn)N到兩焦點(diǎn)的距離之和為12，點(diǎn)A、B分別是橢圓G長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)．點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸的上方，PA⊥PF．
（1）求橢圓G的方程；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值．

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