Question

已知數(shù)列an=

an+bn+1

an+bn+2

（a＞b＞0，n∈N^*），試判定：依據(jù)a、b的不同取值，集合M={m|m=

lim

n→∞

an}含有三個(gè)元素，并用列舉法表示集合M．

Answer 1

分析：由結(jié)論：“當(dāng)|q|＜1時(shí)，

lim

n→∞

qn=0“，且根據(jù)本題條件a＞b＞0，故本題需根據(jù)變量a和常數(shù)1的大小比較進(jìn)行分類(lèi)討論
分（1）當(dāng)1＞a＞b＞0時(shí)，（2）當(dāng)a=1＞b＞0時(shí)，（3）當(dāng)a＞1＞b＞0或a＞b≥1＞0三種情況討論，進(jìn)行求解

解答：解：由結(jié)論：“當(dāng)|q|＜1時(shí)，

lim

n→∞

qn=0“，且根據(jù)本題條件a＞b＞0，故本題需根據(jù)變量a和常數(shù)1的大小比較進(jìn)行分類(lèi)討論
（1）當(dāng)1＞a＞b＞0時(shí)，

lim

n→∞

an+bn+1

an+bn+2

=

1

2

（2）當(dāng)a=1＞b＞0時(shí)，

lim

n→∞

an+bn+1

an+bn+2

=

lim

n→∞

2+bn

3+bn

=

2

3

（3）當(dāng)a＞1＞b＞0或a＞b≥1＞0時(shí)，

lim

n→∞

an+bn+ 1

an+bn+2

=

lim

n→∞

1+( b a )n+ 1 an

1+( b a )n+ 2 an

=1
故集合M={m|m=

lim

n→∞

an}含有以三個(gè)元素，用列舉法表示集合M={

1

2

，1，

2

3

}

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列極限求解的結(jié)論：“當(dāng)|q|＜1時(shí)，

lim

n→∞

qn=0“，的簡(jiǎn)單應(yīng)用，本題需根據(jù)變量a和常數(shù)1的大小比較進(jìn)行分類(lèi)討論，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想在解題中的應(yīng)用．