Question

已知矩陣M=

1 0 2 1

．
（Ⅰ）請寫出矩陣M對應(yīng)的變換f的變換公式；
（Ⅱ）從變換的角度說明矩陣M可逆嗎？如果可逆，請用求逆變換的方式求出對應(yīng)的逆矩陣M^-1．

Answer 1

考點：變換、矩陣的相等,逆變換與逆矩陣

專題：矩陣和變換

分析：本題（Ⅰ）利用矩陣與向量積的運算法則可以得出結(jié)論；（Ⅱ）利用向量變換的幾何意義可以寫出逆矩陣．

解答： 解：（Ⅰ）假設(shè)M=

1 0 2 1

把任一點（x，y）變成（x'，y'），
則

x′ y′

=

1 0 2 1

x y

∴

x′=x y′=2x+y

．
（Ⅱ）從變換的角度看，變換f是可逆的．由（Ⅰ）得矩陣M對應(yīng)的變換f是y軸方向上的切變變換．因為變換f把每個點在橫坐標(biāo)不變的情況下，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉砜v坐標(biāo)加上橫坐標(biāo)的2倍，所以它的逆變換f^-1應(yīng)該是把每個點在橫坐標(biāo)不變的情況下，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉砜v坐標(biāo)減去橫坐標(biāo)的2倍．
∴

x′=x y′=-2x+y

，
∴M-1=

1 0 -2 1

．

點評：本題考查了矩陣與向量的乘法、逆矩陣的求法，本題在求逆矩陣時，還可以采用定義法或公式法加以研究．