Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l與向量（-2，）平行且通過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F，交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，又．
（1）求直線l的方程；
（2）求橢圓C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由方向向量和定點(diǎn)寫(xiě)出直線方程．
（2）設(shè)A為（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)題中的向量式，得到坐標(biāo)y₁，y₂的關(guān)系，再由直線和橢圓聯(lián)立的方程組中，得到y(tǒng)₁+y₂，y₁•y₂的關(guān)系，再建立等式，求解．
解答：解：（1）直線l過(guò)點(diǎn)且與向量（-2，）平行
則l方程為：
化簡(jiǎn)為：y=-（x-1）
（2）設(shè)直線y=-（x-1）與橢圓=1
交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由，求得y₁=-2y₂
將x=-y+1代入b²x²+a²y²=a²b²中
整理得
由韋達(dá)定理可知：
由①²/②知32b²=（4b²+5a²）（a²-1）
又a²-b²=1，故可求得，
因此所求橢圓方程為：=1．
點(diǎn)評(píng)：“設(shè)而不求”是解析幾何的常用方法，聯(lián)立方程組，得兩根之和，兩根之積的關(guān)系．韋達(dá)定理也是二次方程的常用性質(zhì)．