Question

函數(shù)f（x）對任意x，y∈（0，+∞）滿足f（xy）=f（x）+f（y）且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并證明相關(guān)結(jié)論；
（2）若f（2）=1，試求解關(guān)于x的不等式f（x）+f（x-3）≥2．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，根據(jù)f（xy）=f（x）+f（y），可得，結(jié)合當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，易得f（x₂）＞f（x₁），由函數(shù)單調(diào)性的定義，易得函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上為增函數(shù)
（2）先求出f（4）=2，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造不等式組，解得即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上為增函數(shù)，
理由如下，任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴

x2

x1

＞1，
∵當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0．
∴f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₂）=f（

x2

x1

•x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁）＞f（x₁），
即f（x₂）＞f（x₁）
∴函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上為增函數(shù)，
（2）令x=y=2，
則f（4）=2f（2）=2，
∵f（x）+f（x-3）≥2，
∴f（x（x-3））≥f（4），
∵f（x）是定義在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴

x＞0 x-3＞0 x(x-3)≥4

，
解得x≥4，
故不等式f（x）+f（x-3）≥2的解集為[4，+∞）

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象及其應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的值，其中抽象函數(shù)中“湊”的思想是解答此類問題的關(guān)