Question

已知函數(shù)：f（x）=alnx-ax-3（a∈R）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1，2]，若函數(shù)在區(qū)間（t，3）上有最值，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）求證：ln（2²+1）+ln（3²+1）+ln（4²+1）+…+ln（n²+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N^*）

Answer 1

解：（1），
當a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1]，減區(qū)間為[1，+∞）；
當a＜0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1]；
當a=0時，f（x）不是單調(diào)函數(shù)
（2）因為函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，
所以f′（2）=1，所以a=-2，，
，g′（x）=3x²+（4+m）x-2
因為對于任意的t∈[1，2]，函數(shù) 在區(qū)間（t，3）上
總存在極值，所以只需 ，解得
（3）令a=-1（或a=1）
此時f（x）=-lnx+x-3，
所以f（1）=-2，
由（1）知f（x）=-lnx+x-3，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當x∈（1，+∞）時f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴l(xiāng)nx＜x-1對一切x∈（1，+∞）成立，
∵n≥2，n∈N^*，
則有，
∴要證ln（2²+1）+ln（3²+1）+ln（4²+1）+…+ln（n²+1）＜1+2lnn!
即要證，
而
=1-＜1．
分析：（1）先對函數(shù)f（x）進行求導，然后令導函數(shù)大于0（或小于0）求出x的范圍，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可得到答案．
（2））處的切線的傾斜角為45°，得到f′（2）=1求出a的值代入到 中化簡，求出導函數(shù)，因為函數(shù)在（2，3）上總存在極值得到 解出m的范圍記即可；（3）是近年來高考考查的熱點問題，即與函數(shù)結合證明不等式問題，常用的解題思路是利用前面的結論構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，對于函數(shù)取單調(diào)區(qū)間上的正整數(shù)自變量n有某些結論成立，進而解答出這類不等式問題的解．
點評：此題是個難題．本題考查利用函數(shù)的導數(shù)來求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，已知函數(shù)曲線上一點求曲線的切線方程即對函數(shù)導數(shù)的幾何意義的考查，考查求導公式的掌握情況．含參數(shù)的數(shù)學問題的處理，構造函數(shù)求解證明不等式問題．以及考查學生創(chuàng)造性的分析解決問題的能力．