14．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且3bcosC-3ccosB=a，則tan（B-C）的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

分析 使用正弦定理將邊化角，化簡(jiǎn)得出tanB和tanC的關(guān)系，代入兩角差的正切公式使用基本不等式得出最大值．

解答 解：∵3bcosC-3ccosB=a，∴3sinBcosC-3sinCcosB=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴sinBcosC=2cosBsinC，
∴tanB=2tanC．
∴tan（B-C）=$\frac{tanB-tanC}{1+tanBtanC}$=$\frac{tanC}{1+2ta{n}^{2}C}$=$\frac{1}{\frac{1}{tanC}+2tanC}$≤$\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦定理，屬于中檔題，

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

4．已知$f（x）=cos（x-\frac{π}{6}）+cos（x+\frac{π}{6}）$，則函數(shù)f（x）的最小正周期為2π，單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-π，2kπ]，k∈Z．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

5．有6名同學(xué)參加甲、乙、丙3項(xiàng)課外活動(dòng)，每位同學(xué)必須參加一項(xiàng)活動(dòng)不能同時(shí)參加兩項(xiàng)，且每項(xiàng)活動(dòng)都要有人參加，其中甲活動(dòng)最多安排2人，則不同的安排方法有（　　）種．
A．320B．360C．384D．390

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2．若向量$\overrightarrow{a}$=（2，1），$\overrightarrow$=（1，-1），則向量2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的模|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=（　�。�
A．3$\sqrt{2}$B．-3$\sqrt{2}$C．2$\sqrt{3}$D．-2$\sqrt{3}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

9．已知（x+1）+（x+3）+（x+5）+…+（x+15）=96，則x=-$\frac{8}{5}$．

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19．sin420°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；cos$\frac{4}{3}$π=-$\frac{1}{2}$；tan（-$\frac{17}{4}$π）=-1．

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6．設(shè)α∈（$\frac{π}{2}$，π），且tanα=-2，則sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosα=$-\frac{\sqrt{5}}{5}$．

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3．直線(xiàn)x-3y+2=0不經(jīng)過(guò)（　　）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

4．在△ABC中，AB=4，AC=6，∠BAC=60°．點(diǎn)A在邊BC上的投影為點(diǎn)D．
（1）試求線(xiàn)段AD的長(zhǎng)度；
（2）設(shè)點(diǎn)D在邊AB上的投影為點(diǎn)E，在邊AC上的投影為F，試求線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度．

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