Question

已知拋物線C的方程為x²=4y，直線y=2與拋物線C相交于M，N兩點，點A，B在拋物線C上．
（Ⅰ）若∠BMN=∠AMN，求證：直線AB的斜率為定值；
（Ⅱ）若直線AB的斜率為，且點N到直線MA，MB的距離的和為8，試判斷△MAB的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AM的斜率為k，由∠BMN=∠AMN，知直線BM的斜率為-k，所以直線AM的方程為，由此能夠證明直線AB的斜率為定值．
（Ⅱ）若直線AB的斜率為，由，，知k_AM+k_BM=0，∠BMN=∠AMN，由點N到直線MA，MB的距離的和為8，知點N到直線MA，MB的距離均為4，由此能得到△MAB是直角三角形．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AM的斜率為k，
∵∠BMN=∠AMN，所以直線BM的斜率為-k，
可求得，則直線AM的方程為，
代入x²=4y得，
∵，
同理，．（5分）
（Ⅱ）若直線AB的斜率為，由（1）可得：，，
∴，
∴k_AM+k_BM=0，
∴∠BMN=∠AMN，（8分）
又點N到直線MA，MB的距離的和為8，
所以點N到直線MA，MB的距離均為4，
∵，
∴∠BMN=∠AMN=45°，
所以△MAB是直角三角形．   （10分）
點評：本題考查直線和拋物線的綜合運用，解題時要認(rèn)真審題，注意拋物線性質(zhì)的靈活運用，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．