Question

【題目】如圖，動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)A（﹣1，0）、B（2，0）構(gòu)成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C．

（1）求軌跡C的方程；
（2）設(shè)直線y=﹣2x+m與y軸交于點(diǎn)P，與軌跡C相交于點(diǎn)Q、R，且|PQ|＜|PR|，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），顯然有x＞0，且y≠0

當(dāng)∠MBA=90°時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，±3）

當(dāng)∠MBA≠90°時(shí)，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA= ，

化簡可得3x2﹣y2﹣3=0

而點(diǎn)（2，±3）在曲線3x2﹣y2﹣3=0上

綜上可知，軌跡C的方程為3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）；

（2）解：直線y=﹣2x+m與3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）聯(lián)立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①

∴①有兩根且均在（1，+∞）內(nèi)

設(shè)f（x）=x2﹣4mx+m2+3，∴ ，∴m＞1，m≠2

設(shè)Q，R的坐標(biāo)分別為（xQ，yQ），（xR，yR），

∵|PQ|＜|PR|，∴xR=2m+ ，xQ=2m﹣ ，

∴ = =

∵m＞1，且m≠2

∴ ，且

∴ ，且

∴ 的取值范圍是（1，7）∪（7，7+4 ）

【解析】（1）設(shè)出點(diǎn)M（x，y），分類討論，根據(jù)∠MBA=2∠MAB，利用正切函數(shù)公式，建立方程化簡即可得到點(diǎn)M的軌跡方程；（2）直線y=﹣2x+m與3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）聯(lián)立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①，利用①有兩根且均在（1，+∞）內(nèi)可知，m＞1，m≠2設(shè)Q，R的坐標(biāo)，求出xR ， xQ ， 利用 ，即可確定 的取值范圍．