Question

【題目】設(shè)函數(shù)）.

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）設(shè)，若對(duì)任意的，存在使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或.

【解析】試題分析：（1）本問考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，當(dāng)時(shí)， ，則，又，所以可以求出切線方程；（2）本問考查“任意”和“存在”問題，主要是將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化，“對(duì)任意的，存在使得成立”等價(jià)于“在區(qū)間上， 的最大值大于或等于的最大值”，根據(jù)二次函數(shù)易求在上的最大值，求在上最大值時(shí)，需要分區(qū)間對(duì)的根進(jìn)行討論，通過單調(diào)性求出在上最大值，進(jìn)而解不等式求的取值范圍.

試題解析：(1)當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.

(2)“對(duì)任意的，存在使得成立”等價(jià)于“在區(qū)間上， 的最大值大于或等于的最大值”.因?yàn)?/span>，所以在上的最大值為.

,令，得或.

①當(dāng)，即時(shí)， 在上恒成立， 在上為單調(diào)遞增函數(shù)， 的最大值大為，由，得；

②當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)， 為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)時(shí)， 為單調(diào)遞增函數(shù)，所以的最大值大為或.由，得；由，得，又因?yàn)?/span>，所以；

③當(dāng)，即時(shí)， 在上恒成立， 在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以的最大值大為，由，得，又因?yàn)?/span>，所以，

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是或.