本題設(shè)有(1)、(2)、(3)三個選考題,每題7分,請考生任選2題作答,滿分14分
(1)選修4-2:矩陣與變換
變換T是將平面上每個點(diǎn)M(x,y)的橫坐標(biāo)乘2,縱坐標(biāo)乘4,變到點(diǎn)M′(2x,4y).
(Ⅰ)求變換T的矩陣;
(Ⅱ)圓C:x2+y2=1在變換T的作用下變成了什么圖形?
(2)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極點(diǎn)與原點(diǎn)重合,極軸與x軸的正半軸重合.若曲線C1的極坐標(biāo)方程為:5ρ2-3ρ2cos2θ-8=0,直線?的參數(shù)方程為:
x=1-
3
t
y=t
(t為參數(shù)).
(Ⅰ)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)直線?上有一定點(diǎn)P(1,0),曲線C1與?交于M,N兩點(diǎn),求|PM|.|PN|的值.
(3)選修4-5:不等式選講
已知a,b,c為實(shí)數(shù),且a+b+c+2-2m=0,a2+
1
4
b2+
1
9
c2
+m-1=0.
(Ⅰ)求證:a2+
1
4
b2+
1
9
c2
(a+b+c)2
14

(Ⅱ)求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)(Ⅰ)由題意可得T:
x
y
x′
y′
=
2x
4y
=
2
0
,
0
4
x
y
,由此得到變換T的矩陣.
(Ⅱ)由 x′=2x,y′=4y,代入方程 x2+y2=1,得:
1
4
x2+
1
16
y
2=1,由此得出結(jié)論.
(2)(Ⅰ)在曲線C1的極坐標(biāo)方程中,把極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式代入,化簡整理得到曲線C1的直角坐標(biāo)方程.
(Ⅱ)把直線的參數(shù)方程代入到曲線C1的直角坐標(biāo)方程,得7t2-2
3
t-3=0,t1t2=-
3
7
,由t的幾何意義求得
|PM|•|PN|的值.
(3)(Ⅰ)由柯西不等式得 [a2+(
1
2
b)
2
+(
1
3
c)
2
] • [12+22+32]≥(a+b+c)2
,兩邊同時(shí)除以14,即可證得
結(jié)論.
(Ⅱ)由已知得 14(1-m)≥(2m-2)2,解一元二次不等式求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.再由
 a2+
1
4
b2+
1
9
c2
=1-m≥0,可得m≤1.把這兩個實(shí)數(shù)m的取值范圍取交集,即得所求.
解答:(1)解:(Ⅰ)由已知得T:
x
y
x′
y′
=
2x
4y
=
2
0
0
4
x
y
,
∴變換T的矩陣是
2
0
,
0
4
…(3分)
(Ⅱ)由 x′=2x,y′=4y,得:x=
1
2
x,y=
1
4
y′,…(4分)
代入方程 x2+y2=1,得:
1
4
x2+
1
16
y
2=1. …(6分)
∴圓C:x2+y2=1在變化T的作用下變成了橢圓
x2
4
+
y2
16
=1…(7分)
(2)解:(Ⅰ)由5ρ2-3ρ2cos2θ-8=0得,5ρ2-3ρ2(cos2θ-sin2θ)-8=0,
即5ρ2-3ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ-8=0,從而5(x2+y2)-3x2+3y2-8=0,
整理得
x2
4
+y2
=1.…(3分)
(Ⅱ)把直線的參數(shù)方程代入到曲線C1的直角坐標(biāo)方程,得7t2-2
3
t-3=0,t1t2=-
3
7

由t的幾何意義知|PM|.|PN|=|t1•t2|=
3
7
.…(7分)
(3)解:(Ⅰ)由柯西不等式得 [a2+(
1
2
b)
2
+(
1
3
c)
2
] • [12+22+32]≥(a+b+c)2
,…(2分)
(a2+
1
4
b2+
1
9
c2)×14≥(a+b+c)2
,∴a2+
1
4
b2+
1
9
c2
(a+b+c)2
14
. …(4分)
(Ⅱ)由已知得a+b+c=2m-2,a2+
1
4
b2+
1
9
c2
=1-m,
∴14(1-m)≥(2m-2)2,即  2m2+3m-5≤0,∴-
5
2
≤m≤1.…(6分)
又∵a2+
1
4
b2+
1
9
c2
=1-m≥0,∴m≤1,∴-
5
2
≤m≤1.…(7分)
點(diǎn)評:本題主要考查 幾種矩陣運(yùn)算、直線的參數(shù)方程、柯西不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

本題設(shè)有(1)、(2)、(3)三個選考題,每題7分,請考生任選2題作答,滿分14分,如果多做,則按所做的前兩題計(jì)分,作答時(shí),先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑,并將所選題號填入括號中.
(1)選修4-2:矩陣與變換
設(shè)矩陣 M=
a0
0b
(其中a>0,b>0).
(Ⅰ)若a=2,b=3,求矩陣M的逆矩陣M-1
(Ⅱ)若曲線C:x2+y2=1在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C′:
x2
4
+y2=1
,求a,b的值.
(2)(本小題滿分7分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直接坐標(biāo)系xOy中,直線l的方程為x-y+4=0,曲線C的參數(shù)方程為
x=
3
cos∂
y=sin∂
(∂為參數(shù))

(Ⅰ)已知在極坐標(biāo)(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4,
π
2
),判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個動點(diǎn),求它到直線l的距離的最小值.
(3)(本小題滿分7分)選修4-5:不等式選講
設(shè)不等式|2x-1|<1的解集為M.
(Ⅰ)求集合M;
(Ⅱ)若a,b∈M,試比較ab+1與a+b的大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年福建省高三第八次月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題

本題設(shè)有(1)、(2)、(3)三個選考題,每題7分,請考生任選2題做答,滿分14分

(1)(本小題滿分7分)選修4-2:矩陣與變換

變換是將平面上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘,縱坐標(biāo)乘,變到點(diǎn).

(Ⅰ)求變換的矩陣;

(Ⅱ)圓在變換的作用下變成了什么圖形?

(2)(本小題滿分7分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知極點(diǎn)與原點(diǎn)重合,極軸與x軸的正半軸重合.若曲線的極坐標(biāo)方程為:,直線的參數(shù)方程為:為參數(shù)).

(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)直線上有一定點(diǎn),曲線交于M,N兩點(diǎn),求的值.

(3)(本小題滿分7分)選修4-5:不等式選講

 已知為實(shí)數(shù),且

(Ⅰ)求證:

(Ⅱ)求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年普通高中招生考試福建省高考理科數(shù)學(xué) 題型:解答題

本題設(shè)有(1)、(2)、(3)三個選考題,每題7分,請考生任選2題做答,滿分14分,如果多做,則按所做的前兩題計(jì)分,做答時(shí),先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑,并將所選題號填入括號中。

(1)(本小題滿分7分)選修4-2:矩陣與變換

設(shè)矩陣 (其中a>0,b>0).

(I)若a=2,b=3,求矩陣M的逆矩陣M-1;

(II)若曲線C:x2+y2=1在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C’:,求a,b的值.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年福建省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

本題設(shè)有(1)、(2)、(3)三個選考題,每題7分,請考生任選2題作答,滿分14分,如果多做,則按所做的前兩題計(jì)分,作答時(shí),先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑,并將所選題號填入括號中.
(1)選修4-2:矩陣與變換
設(shè)矩陣 (其中a>0,b>0).
(I)若a=2,b=3,求矩陣M的逆矩陣M-1;
(II)若曲線C:x2+y2=1在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C’:,求a,b的值.
(2)(本小題滿分7分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直接坐標(biāo)系xOy中,直線l的方程為x-y+4=0,曲線C的參數(shù)方程為
(I)已知在極坐標(biāo)(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4,),判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系;
(II)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個動點(diǎn),求它到直線l的距離的最小值.
(3)(本小題滿分7分)選修4-5:不等式選講
設(shè)不等式|2x-1|<1的解集為M.
(I)求集合M;
(II)若a,b∈M,試比較ab+1與a+b的大。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案