Question

已知向量

a

=（sinθ，cosθ），

b

=（1，-2），且

a

•

b

=0．
（1）求tanθ的值；
（2）求函數(shù)f（x）=cos²x+tanθsinx，（x∈R）的值域．

Answer 1

分析：（1）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式列式，再結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系變形，可得tanθ的值；
（2）將cos²x=1-sin²x代入函數(shù)表達(dá)式，整理得f（x）=-（sinx-1）²+2，再結(jié)合sinx的取值范圍，可得函數(shù)f（x）的最大值和最小值，從而得到函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（1）∵

a

=（sinθ，cosθ），

b

=（1，-2），
∴

a

•

b

=0即sinθ-2cosθ=0，
兩邊都除以cosθ得：

sinθ

cosθ

-2=0，可得tanθ=2；
（2）由（1）得f（x）=cos²x+2sinx=-sin²x+2sinx+1=-（sinx-1）²+2，
∵-1≤sinx≤1，
∴sinx=1時，f（x）有最大值為2；sinx=-1時，f（x）有最小值為-2
所以函數(shù)的值域?yàn)椋篬-2，2]

點(diǎn)評：本題以向量坐標(biāo)運(yùn)算和函數(shù)求值域?yàn)檩d體，考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系、復(fù)合三角函數(shù)最值和向量數(shù)量的公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．