Question

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且

3

asinB=bcosA．
（I）求角A的大�。�
（II）若a=1，且△ABC的面積為

3

4

，求b與c的值．

Answer 1

分析：（I）將已知的等式代入正弦定理，由B的范圍得到sinB不為0，在等式兩邊除以sinB得到tanA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（II）利用三角形的面積公式表示出三角形的面積，令面積等于

3

4

，把sinA的值代入得到bc的值，記作①，然后由余弦定理表示出另一個(gè)關(guān)系式，化簡(jiǎn)后得到b+c的值，記作②，聯(lián)立①②即可求出b與c的值．

解答：解：（I）

3

asinB=bcosA代入正弦定理得：

3

sinAsinB=sinBcosA，
又0＜B＜π，得到sinB≠0，所以

3

sinA=cosA，即tanA=

3

3

，
又0＜A＜π，所以A=

π

6

；
（II）∵△ABC的面積為

3

4

，即

1

2

bcsinA=

3

4

，
由（I）得sinA=

1

2

，代入得：bc=

3

①，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：1=b²+c²-3，即b²+c²=4，
所以（b+c）²-2bc=4，（b+c）²=4+2

3

，所以b+c=1+

3

②，
由①②解得：

b=1 c= 3

或

b= 3 c=1

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦、余弦定理化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．