Question

f（x）=1g（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0）
（1）求f（x）的定義域；
（2）問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a、b，當(dāng)x∈（1，∞）時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋?，+∞），且 f（2）=1g2？若存在，求出a、b的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由a^x-b^x＞0，（a＞1＞b＞0）得 ＞0，∴x＞0．
∴f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
（2）令g（x）=a^x-b^x，又 a＞1＞b＞0，∴g（x）在 （0，+∞）上為增函數(shù)．
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）的值取到一切正數(shù)等價(jià)于x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）＞1，
∴g（1）=1，可得a-b=1 ①，又f（2）=lg2，故 a²-b²=2 ②，
由①②得 a=，b=．
分析：（1）由a^x-b^x＞0，（a＞1＞b＞0）得 ＞0，由此求得f（x）的定義域．
（2）令g（x）=a^x-b^x，可得 x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）＞1．由g（1）=1，可得a-b=1 ①，又f（2）=lg2，故 a²-b²=2 ②，由①②求得a、b的值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．