Question

一臺(tái)儀器每啟動(dòng)一次都隨機(jī)地出現(xiàn)一個(gè)5位的二進(jìn)制數(shù)A=a₁a₂a₃a₄a₅，其中A的各位數(shù)字中，a₁=1，a_k（k=2，3，4，5）出現(xiàn)0的概率為

1

3

，出現(xiàn)1的概率為

2

3

．記ξ=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅（例如：A=10101，即表示a₁=a₃=a₅=1，a₂=a₄=0，而ξ=3），當(dāng)儀器啟動(dòng)一次時(shí)，
（1）求ξ=3的概率；
（2）求ξ的概率分布列；
（3）若啟動(dòng)一次出現(xiàn)的數(shù)字為A=10101則稱這次試驗(yàn)成功，求5次重復(fù)試驗(yàn)成功的次數(shù)的期望．

Answer 1

分析：（1）此題需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，不能直接套公式，由a₁=1，可知有一次的試驗(yàn)結(jié)果已經(jīng)確定；當(dāng)ξ=3時(shí)的概率，相當(dāng)于在后面的4個(gè)數(shù)中出現(xiàn)2個(gè)1，計(jì)算可得答案；
（2）分析ξ的取值情況，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，做出變量對(duì)應(yīng)的概率，并列出ξ值的分布列，
（3）由題意知變量符合二項(xiàng)分布，根據(jù)成功概率和實(shí)驗(yàn)的次數(shù)，用二項(xiàng)分布的期望公式得到結(jié)果．

解答：解：（1）由題意知數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，
當(dāng)ξ=3時(shí)的概率，相當(dāng)于在后面的4個(gè)數(shù)中出現(xiàn)2個(gè)1，
p(ξ=3)=

C

2 4

(

2

3

)2•(

1

3

)2=

24

81

（2）ξ的可能取值為1，2，3，4，5，
p(ξ=1)=(

1

3

)4=

1

81

     p(ξ=2)=

C

1 4

(

1

3

)3•(

2

3

)=

8

81

     p(ξ=3)=

C

2 4

(

2

3

)2•(

1

3

)2=

24

81

p(ξ=4)=

C

3 4

(

2

3

)3•(

1

3

)=

32

81

       p(ξ=5)=(

2

3

)4=

16

81

∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4	5
p	1 81	8 81	24 81	32 81	16 81

（3）啟動(dòng)一次出現(xiàn)數(shù)字為A=|0|0|的概率P=(

1

3

)2(

2

3

)2=

4

81

由題意知變量符合二項(xiàng)分布，
根據(jù)成功概率和實(shí)驗(yàn)的次數(shù)的值，
有η～B(5，

4

81

)
∴η的數(shù)學(xué)期望為Eη=

20

81

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，由a₁=1，將ξ=n，轉(zhuǎn)化為后面的4個(gè)數(shù)中出現(xiàn)n-1個(gè)1是解答本題的關(guān)鍵．