Question

（2009•南匯區(qū)二模）設(shè)F₁、F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，其右焦點(diǎn)是直線y=x-1與x軸的交點(diǎn)，短軸的長(zhǎng)是焦距的2倍．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（3）是否存在過點(diǎn)A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得|F₂C|=|F₂D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）易知直線y=x-1與x軸的交點(diǎn)是（1，0），利用右焦點(diǎn)是直線y=x-1與x軸的交點(diǎn)，短軸的長(zhǎng)是焦距的2倍所以c=1，且b=2c=2，故方程可求；
（2）設(shè)P（x，y），則

PF1

•

PF2

=(-1-x，-y)• (1-x，-y)=x2+y2+1=x2+4-

4

5

x2-1=

1

5

x2+3
根據(jù)x的取值范圍能夠得到

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（3）假設(shè)存在滿足條件的直線l．由題意知點(diǎn)A（5，0）在橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l與橢圓無交點(diǎn)，所在直線l斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y=k（x-5），再把直線y=k（x-5）和橢圓

x2

5

+

y2

4

=1聯(lián)系方程用根的判別式求l的方程或說明理由．

解答：解：（1）易知直線y=x-1與x軸的交點(diǎn)是（1，0），所以c=1，且b=2c=2，
所以橢圓的方程是

x2

5

+

y2

4

=1…（4分）
（2）易知F₁=（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）…（6分）
設(shè)P（x，y），則

PF1

•

PF2

=(-1-x，-y)•(1-x，-y)=x2+y2-1
=x2+4-

4

5

x2-1=

1

5

x2+3…（8分）∵x∈[-

5

，

5

]，∴當(dāng)x=0，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，

PF1

•

PF2

有最小值3；
當(dāng)x=±

5

，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，

PF1

•

PF2

有最大值4     …（10分）
（3）假設(shè)存在這樣的直線：y=kx+b   5k+b=0 k=-

b

5

連接F₂C，F(xiàn)₂D，并作F₂H垂直于CD，交直線y與H，△F2CD為等腰△
設(shè)C 點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y₁）D 點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₂，y₂），F(xiàn)₂H的斜率為：

5

b

把y=kx+b和

x2

5

+

y2

4

=1聯(lián)立，并消去y：
（20+b²）x²-10b² x+25b²-100=0
根據(jù)二次方程定理：

x1+x2

2

=

5b2

20+b2

同理

y1+y2

2

=

20b

20+b2

∴直線的斜率

20b 20+b2

5b2 20+b2 -1

 =

5

b

．方程b無解
故不存在直線，使得|F₂C|=|F₂D|

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合運(yùn)用．主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓與向量的結(jié)合，最值的求解，考查代入法求軌跡方程，解題時(shí)要仔細(xì)審題，認(rèn)真解答．