Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（1）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）-f（x）＜0恒成立，則不等式ln|x|f（x）＞0的解集為（　　）

• A． {x|-1＜x＜0或x＜-1}
• B． {x|-1＜x＜0或x＞1}
• C． {x|x＜-1或0＜x＜1}
• D． {x|-1＜x＜0或0＜x＜1}

Answer 1

分析 根據(jù)題意，令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，對(duì)其求導(dǎo)，結(jié)合題意分析可得在（0，+∞）函數(shù)g（x）為減函數(shù)，且g（1）=$\frac{f（1）}{{e}^{1}}$=0，分析可得當(dāng)x＞1時(shí)，有g(shù)（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜0，則有f（x）＜0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，有g(shù)（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＞0，則有f（x）＞0；進(jìn)而結(jié)合函數(shù)f（x）的奇偶性，可得f（x）在（-∞，0）上的符號(hào)情況，由此可得ln|x|f（x）＞0?$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|＜0}\\{x＞1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|＞0}\\{0＜x＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|＞0}\\{x＜-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|＜0}\\{-1＜x＜0}\end{array}\right.$，解可得不等式的解集，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則其導(dǎo)數(shù)且g′（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$=$\frac{f′（x）•{e}^{x}-f（x）•{e}^{x}}{{（e}^{x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
又由當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）-f（x）＜0恒成立，
則有g(shù)′（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$=$\frac{f′（x）•{e}^{x}-f（x）•{e}^{x}}{{（e}^{x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，
即在（0，+∞）函數(shù)g（x）為減函數(shù)；
又由f（1）=0，則g（1）=$\frac{f（1）}{{e}^{1}}$=0，
則當(dāng)x＞1時(shí)，有g(shù)（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜0，則有f（x）＜0；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，有g(shù)（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＞0，則有f（x）＞0；
又由函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
則當(dāng)x＜-1時(shí)，有f（x）＞0；
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，有f（x）＜0；
對(duì)于不等式ln|x|f（x）＞0，
則有$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|＜0}\\{x＞1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|＞0}\\{0＜x＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|＞0}\\{x＜-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|＜0}\\{-1＜x＜0}\end{array}\right.$，
解可得x＜-1或0＜x＜1，
即不等式ln|x|f（x）＞0的解集為{x＜-1或0＜x＜1}，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，涉及函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)g（x）是解答本題的關(guān)鍵．