Question

已知曲線C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t為參數(shù)），C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）將C₁，C₂的方程化為普通方程；
（Ⅱ）若C₁上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為DF=

MF2+DM2

=

302+1702

=10

198

，Q為C₂上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C₃：x-2y-7=0距離的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三角函數(shù)cos²t+sin²t=1，化簡(jiǎn)可得所求的普通方程；（Ⅱ）把t=

π

2

代入可得點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，由中點(diǎn)公式可得M坐標(biāo)，代入點(diǎn)到直線的距離公式，由三角函數(shù)的最值求解方法可得．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得cos²t+sin²t=（x+4）²+（y-3）²=1，
cos²θ+sin²θ=(

x

8

)2+(

y

3

)2=1，
故所求的普通方程為：C1：(x+4)2+(y-3)2=1，C2：

x2

64

+

y2

9

=1．
（Ⅱ）當(dāng)t=

π

2

時(shí)，P（-4，4），Q（8cosθ，3sinθ），
故M(-2+4cosθ，2+

3

2

sinθ)，C₃為直線x-2y-7=0，
故M到C₃的距離d=

5

5

|4cosθ-3sinθ-13|=

5

5

[13-5sin（θ-γ）]，其中tanγ=

4

3

從而當(dāng)cosθ=

4

5

，sinθ=-

3

5

時(shí)，sin（θ-γ）取最大值1，
此時(shí)，d取得最小值

8 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的參數(shù)方程，以及點(diǎn)到直線的距離公式，屬中檔題．