Question

已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且有a₃-a₆+a₁₀-a₁₂+a₁₅=20，a₇=14．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n及其前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）記數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為T_n，試用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意n∈N^*，都有．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因?yàn)?+15=6+12，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知a₃+a₁₅=a₆+a₁₂，即可求出a₁₀的值，再根據(jù)a₇=14，利用待定系數(shù)法求出數(shù)列的首項(xiàng)與公差，根據(jù)首項(xiàng)與公差寫出通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式即可；
（Ⅱ）先根據(jù)S_n的通項(xiàng)公式表示出，（1）當(dāng)n=1時(shí)，把n=1代入求值不等式成立；（2）再假設(shè)n=k時(shí)關(guān)系成立，利用通分和約分變形可得n=k+1時(shí)關(guān)系也成立，綜合（1）和（2），得到對(duì)于任意n∈N^*時(shí)都成立．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閧a_n}為等差數(shù)列，且3+15=6+12，所以a₃+a₁₅=a₆+a₁₂，得a₁₀=20，
由a₁₀=a₁+9d及a₇=a₁+6d聯(lián)立解得a₁=2，d=2，
因此得a_n=2n，S_n=n²+n；
（Ⅱ）證明：，
（1）當(dāng)n=1時(shí)，，關(guān)系成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，關(guān)系成立，即，
則
=
=，即當(dāng)n=k+1時(shí)關(guān)系也成立．
根據(jù)（1）和（2）知，關(guān)系式對(duì)任意n∈N^*都成立．
點(diǎn)評(píng)：此題是一道綜合題，要求學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，會(huì)利用待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)的和公式，同時(shí)要求學(xué)生掌握數(shù)學(xué)歸納法在證明題中的運(yùn)用．