Question

已知正項數(shù)列{x_n}滿足x_n+

1

xn+1

＜2（n∈N^*）．
（1）證明：x_n+

1

xn

≥2；
（2）證明：x_n＜x_n+1；
（3）用數(shù)學歸納法證明：x_n＞

n-1

n

．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法

專題：推理和證明

分析：（1）可以利用基本不等式進行證明；（2）利用（1）的結論，通過不等式傳遞，得到本題結果；（3）可以將原不等式利用數(shù)學歸納法進行證明．

解答： 證明：（1）∵x_n＞0，∴xn+

1

xn

≥2

xn× 1 xn

=2，∴x_n+

1

xn

≥2；，當且僅當x_n=1時，等號成立．
（2）由（1）知xn+

1

xn

≥2，又x_n+

1

xn+1

＜2，
所以

1

xn

＞

1

xn+1

，所以x_n＜x_n+1．
（3）①當n=1時，不等式顯然成立； 
②假設當n=k（k∈N^*）時不等式成立，即xk＞

k-1

k

．
當n=k+1時，由xn+

1

xn+1

＜2，得xk+1＞

1

2-xk

＞

1

2- k-1 k

=

k

k+1

，
即當n=k+1時，不等式成立； 
綜上，對一切n∈N^*都有xn＞

n-1

n

成立．

點評：本題考查的不等式和數(shù)列的知識，包括基本不等式、解不等式、數(shù)列、數(shù)學歸納法，思維量較大．