Question

環(huán)保刻不容緩，或許人類最后一滴水將是自己的淚水．某地水資源極為緊張，且受工業(yè)污染嚴(yán)重，預(yù)計20年后該地將無潔凈的水可用．當(dāng)?shù)貨Q定重新選址建設(shè)新城區(qū)，同時對舊城區(qū)進行拆除．已知舊城區(qū)的住房總面積為64am²，每年拆除的數(shù)量相同；新城區(qū)計劃第一年建設(shè)住房面積am²，前四年每年以100%的增長率建設(shè)新住房，從第五年開始，每年都比上一年增加am²．設(shè)第n（n≥1，且n∈N））年新城區(qū)的住房總面積為a_nm²，該地的住房總面積為b_nm²．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若每年拆除4am²，比較a_n+1與b_n的大�。�

Answer 1

解：（1）設(shè)第n年新城區(qū)的住房建設(shè)面積為λ_nm²，則當(dāng)1≤n≤4時，λ_n=2^n-1a；…（1分）
當(dāng)n≥5時，λ_n=（n+4）a．
所以，當(dāng)1≤n≤4時，a_n=（2ⁿ-1）a
當(dāng)n≥5時，a_n=a+2a+4a+8a+9a+…+n（n+4）a=a
∴a_n=
（2）當(dāng)1≤n≤3時，a_n+1=（2ⁿ⁺¹-1）a，b_n=（2ⁿ-1）a+64a-4na，顯然有a_n+1＜b_n．
當(dāng)n=4 時，a_n+1=a₅=24a，b_n=b₄=63a，此時a_n+1＜b_n．
當(dāng)5≤n≤16時，a_n+1=，b_n=
∵a_n+1-b_n=（5n-59）a．
∴當(dāng)5≤n≤11時，a_n+1＜b_n；當(dāng)12≤n≤16時，a_n+1＞b_n．
當(dāng)n≥17時，顯然a_n+1＞b_n
故當(dāng)1≤n≤11時，a_n+1＜b_n；當(dāng) n≥12時，a_n+1＞b_n．
分析：（1）分1≤n≤4時和n≥5時兩種情況加以討論并結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項公式，分別求出第n年新城區(qū)的住房建設(shè)面積為λ_n關(guān)于n、a的表達式，再利用等差、等比數(shù)列的求和公式即可求出{a_n}的通項公式關(guān)于n的分段形式的表達式；
（2）根據(jù)1≤n≤3、n=4 和5≤n≤11時a_n+1和b_n的表達式，結(jié)合作差法比較不等式大小，可得a_n+1＜b_n；而當(dāng) n≥12時可得a_n+1-b_n=（5n-59）a＞0，從而得到a_n+1＞b_n，最后加以綜合即可得到a_n+1與b_n的大小的兩種情況．
點評：本題給出數(shù)列的實際應(yīng)用題，求{a_n}的通項公式并比較a_n+1和b_n的大小．著重考查了等差、等比數(shù)列的通項公式與求和公式，以及不等式比較大小等知識，屬于中檔題．