Question

地面上放一個(gè)半球?yàn)镽的球O，在球O的正上方與球面的距離為R處有一發(fā)光點(diǎn)P，則在地面上球的陰影面積是

 

．

Answer 1

分析：把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影叫中心投影，所以地面上球的陰影屬于中心投影，應(yīng)為圓，欲求其面積，只需找到半徑即可，根據(jù)中心投影中，隨著物體距發(fā)光點(diǎn)的遠(yuǎn)近，影子的大小成比例變化，只需求出切點(diǎn)所圍成圓的半徑，再按比例關(guān)系，就可得到陰影圓半徑．

解答：解：由題意知，地面上球的陰影是球O的中心投影，為圓形，設(shè)半徑為R′
由P點(diǎn)發(fā)出的光線與圓相切，切點(diǎn)圍成一個(gè)圓O′，設(shè)半徑為r，PO′長(zhǎng)為d，
根據(jù)題意，r=

3 R

2

，d=

3R

2

∵中心投影中，隨著物體距發(fā)光點(diǎn)的遠(yuǎn)近，影子的大小成比例變化
∴

r

R′

=

d

3R

，∴a=

3R•r

d

=

3R• 3 R 2

3R 2

=

3

R
∴面積S=π（R′）²=3πR²
故答案為3πR²．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了中心投影的概念及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．