Question

 

如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分PC，且分別交AC．PC于D．E兩點，又PB=BC，PA=AB．

（Ⅰ）求證：PC⊥平面BDE；

（Ⅱ）若點Q是線段PA上任一點，求證：BD⊥DQ；

（Ⅲ）線段PA上是否存在點Q，使得PC//平面BDQ．若存在,求出點的位置,若不存在,說明理由．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （Ⅰ）證明：由等腰三角形PBC，得BE⊥PC……………………………………．．．1分

又DE垂直平分PC，∴DE⊥PC  …………………………………………．．2分

且，

∴  PC⊥平面BDE……………………………………………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知PC⊥平面BDE  ∴  PC⊥BD

     ∵ PA⊥底面ABC ，

∴  PA⊥BD，又，且

      ∴ BD⊥平面PAC，…………………………………………………………………7分

又點Q是線段PA上任一點，故

∴ BD⊥DQ ………………………………………………………………………．．8分

（Ⅲ）解：存在這樣的點Q，使得PC//平面BDQ

不妨令PA=AB=1，則有PB=BC=  ，

由，容易計算得AD=AC

所以點Q在線段PA的處，即AQ=AP時，PC//QD，………………………10分

又,

從而PC//平面BDQ ．………………………………………………………………12分