已知P是圓C：(x-1)2+(y-
3
)2=1上的一個動點，A（
3
，1），則
OP
•
OA
的最小值為
 
．
分析：如圖，作PQ⊥OA于Q，CD⊥OA于D，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，當向量
OP
在向量
OA
上的射影最小時，
OP
•
OA
取到最小值．由此根據(jù)題中的圓C方程與點A坐標加以計算，可得
OP
•
OA
的最小值．
解答：解：精英家教網(wǎng)圓C：(x-1)2+(y-
3
)2=1的圓心為C（1，
3
），半徑r=1
如圖，作PQ⊥OA于Q，CD⊥OA于D，
設D（
3
λ，λ），可得
CD
=（
3
λ-1，λ-
3
），
由
OA
⊥
CD
，得
OA
•
CD
=
3
(
3
λ-1)+(λ-
3
)=0，
解之得λ=
3
2
，可得D（
3
2
，
3
2
），|
OD
|=
9
4
+
3
4
=
3
．
根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，當向量
OP
在向量
OA
上的射影最小時，
OP
•
OA
取到最小值．
∵|
OQ
|min=|
OT
|=|
OD
|-1=
3
-1．
∴
OP
•
OA
min=|
OA
|?|
OQ
|min═|
OA
|?|
OT
|=2（
3
-1）
故答案為：2（
3
-1）
點評：本題給出點P是圓C上一點，A點在圓C外，求數(shù)量積
OP
•
OA
的最小值．著重考查了向量的數(shù)量積及其運算性質、直線與圓的方程等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C的參數(shù)方程為
x=1+2cosθ
y=
3
+2sinθ
(θ為系數(shù))，若P是圓C與x軸正半軸的交點，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設過點P的圓C的切線為l，求直線l的極坐標方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

請考生注意：重點高中學生只做（1）、（2）兩問，一般高中學生只做（1）、（3）兩問．
已知P是圓F1：(x+1)2+y2=16上任意一點，點F2的坐標為（1，0），直線m分別與線段F1P、F2P交于M、N兩點，且
MN
=
1
2
(
MF2
+
MP
)，|
NM
+
F2P
|=|
NM
-
F2P
|．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）斜率為k的直線l與曲線C交于P、Q兩點，若
OP
•
OQ
=0（O為坐標原點）．試求直線l在y軸上截距的取值范圍；
（3）是否存在斜率為
1
2
的直線l與曲線C交于P、Q兩點，使得
OP
•
OQ
=0（O為坐標原點），若存在求出直線l的方程，否則說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知P是圓F1：（x+1）2+y2=16上的動點，點F2（1，0），線段PF2的垂直平分線l與半徑F1P交于點Q．
（I）當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡C的方程．
（II）已知點M（1，
3
2
），A、B在（1）中所求的曲線C上，且
MA
+
MB
=λ
OM
（λ∈R，O是坐標原點），
（i）求直線AB的斜率；
（ii）求證：當△MAB的面積取得最大值時，O是△MAB的重心．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

請考生注意：重點高中學生只做（1）、（2）兩問，一般高中學生只做（1）、（3）兩問．
已知P是圓F1：(x+1)2+y2=16上任意一點，點F2的坐標為（1，0），直線m分別與線段F1P、F2P交于M、N兩點，且
MN
=
1
2
(
MF2
+
MP
)，|
NM
+
F2P
|=|
NM
-
F2P
|．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）斜率為k的直線l與曲線C交于P、Q兩點，若
OP
•
OQ
=0（O為坐標原點）．試求直線l在y軸上截距的取值范圍；
（3）是否存在斜率為
1
2
的直線l與曲線C交于P、Q兩點，使得
OP
•
OQ
=0（O為坐標原點），若存在求出直線l的方程，否則說明理由．

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