Question

10．若（x+$\frac{1}{x}$+1）ⁿ的展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為81，則分別在區(qū)間[0，π]和[0，$\frac{n}{4}$]內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，滿(mǎn)足y＞sinx的概率為（　　）

• A． 1-$\frac{1}{π}$
• B． 1-$\frac{2}{π}$
• C． 1-$\frac{3}{π}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)幾何概型的概率公式，求出對(duì)應(yīng)事件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積，進(jìn)行求解即可

解答 解：由題意知，令x=1，得到3ⁿ=81，解得 n=4，∴0≤x≤π，0≤y≤1．
作出對(duì)應(yīng)的圖象如圖所示：
則此時(shí)對(duì)應(yīng)的面積S=π×1=π，
滿(mǎn)足y≥sinx的點(diǎn)構(gòu)成區(qū)域的面積為：
S=${∫}_{0}^{π}$sinxdx=-cosx|${\;}_{0}^{π}$=-cosπ+cos0=2，
則滿(mǎn)足y＞sinx的概率為$P=1-\frac{2}{π}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何概型的概率的計(jì)算，根據(jù)積分以及線性規(guī)劃的知識(shí)作出對(duì)應(yīng)的圖象，求出對(duì)應(yīng)的面積是解決本題的關(guān)鍵．