Question

(2007浙江，22)設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)t，記．

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求證：①當(dāng)x＞0時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)t成立；

②有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)t成立．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)．由，得x=±2． 因?yàn)楫?dāng)x(－∞，－2)時(shí)，＞0， 當(dāng)x(－2，2)時(shí)，＜0，當(dāng)x(2，＋∞)時(shí)，＞0， 故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－2)，(2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－2，2)． (2)①令， 則，當(dāng)t＞0時(shí)，由，得． 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，h(x)＞0， 所以h(x)在(0，＋∞)內(nèi)的最小值是， 故當(dāng)x＞0時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)t成立． ②，由①得，對(duì)任意正實(shí)數(shù)t成立，即存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)t成立．下面證明的唯一性：當(dāng)，，t=8時(shí)，，． 由①得，，再取，得， 所以， 即時(shí)，不滿足對(duì)任意t＞0都成立． 故有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)t成立．

提示：

剖析：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基本知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力．