Question

1．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+x，x＞0}\\{-2x，x≤0}\end{array}\right.$，若不等式f（x-2）≥f（x）對一切x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為[-$\frac{9}{16}，-\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，利用f（x-2）的圖象高于f（x）的圖象進行求解即可得到答案．

解答 解：當a≥0時，作出f（x-2）、f（x）的圖象如圖：

不滿足f（x-2）≥f（x）對一切x∈R恒成立；
當a＜0時，作出函數(shù)f（x-2）、f（x）的圖象如圖：

函數(shù)f（x-2）恒過定點（2，0），要使不等式f（x-2）≥f（x）對一切x∈R恒成立，則$-\frac{1}{a}≤2$，得a$≤-\frac{1}{2}$；
同時，x＞0時，與直線y=-2x平行的直線與y=ax²+x相切或相離即可，
y=ax²+x的導(dǎo)數(shù)y′=2ax+1，由2ax+1=-2，得x=-$\frac{3}{2a}$，代入y=ax²+x，得y=$\frac{3}{4a}$．
∴切點為（$-\frac{3}{2a}，\frac{3}{4a}$），則切線方程為y-$\frac{3}{4a}$=-2（x+$\frac{3}{2a}$），
令y=0，得x=-$\frac{9}{8a}$，
要使f（x-2）的圖象高于f（x）的圖象，則$-\frac{9}{8a}≥2$，得a$≥-\frac{9}{16}$．
∴實數(shù)a的取值范圍為[-$\frac{9}{16}，-\frac{1}{2}$]．
故答案為：[-$\frac{9}{16}，-\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查恒成立問題，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，是中檔題．