Question

已知復數(shù)z=sinθ+2i(0≤θ≤

π

2

)，且z-(

2

4

+i)=

1

2

.

z

+2i，求傾斜角為θ并經(jīng)過點（-6，0）的直線l與曲線y=x²所圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析：本題首先根據(jù)已知復數(shù)z=sinθ+2i(0≤θ≤

π

2

)，且z-(

2

4

+i)=

1

2

.

z

+2i，求出角θ；然后寫出直線l的方程，再利用定積分即可求出面積．

解答：解：∵z=sinθ+2i，∴

.

z

=sini-2i，
有∵z-(

2

4

+i)=

1

2

.

z

+2i，
∴sinθ+2i-(

2

4

+i)=

1

2

(sinθ-2i)+2i，∴sinθ-

2

4

+i=

1

2

sinθ+i，
∴sinθ=

2

2

，
∵0≤θ≤

π

2

，∴θ=

π

4

，
∴直線l的斜率k=tan

π

4

=1，
又∵直線l過點（-6，0），∴直線l的方程為y=x+6．
聯(lián)立

y=x+6 y=x2

，解之得x=-2，或x=3．
所要求的面積S=

∫

3 -2

（x+6-x²）dx=（(

1

2

x2+6x-

1

3

x3)

|

3 -2

=

125

6

．

點評：本題綜合考查了復數(shù)、直線的方程及利用定積分求面積，熟練利用以上有關知識及方法進行計算是解決問題的關鍵．