已知f(x)=
x2+13x+p
是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)p的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上的單調(diào)性，并加以證明．
分析：（1）由題意可知，f（-x）=-f（x），代入已知函數(shù)中即可求p
（2）利用單調(diào)性的定義，任取x1＜x2＜-1，然后通過作差法比較f（x1）-f（x2）的正負即可判斷
解答：解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）…（1分）
即
x2+1
-3x+p
=-
x2+1
3x+p
，…（2分）
∴
x2+1
-3x+p
=
x2+1
-3x-p
，
從而p=0；              …（5分）
（2）f(x)=
x2+1
3x
在（-∞，1）上是單調(diào)增函數(shù)．…（6分）
證明：f(x)=
x2+1
3x
，任取x1＜x2＜-1，則         …（7分）
f(x1)-f(x2)=
x
2
1
+1
3x1
-
x
2
2
+1
3x2
=
x
2
1
x2+x2-
x
2
2
x1-x1
3x1x2
…（8分）
=
x1x2(x1-x2)-(x1-x2)
3x1x2
=
(x1-x2)(x1x2-1)
3x1x2
，…（10分）
∵x1＜x2＜-1，
∴x1-x2＜0，x1x2-1＞0，x1x2＞0，…（11分）
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x）在（-∞，-1）上是單調(diào)增函數(shù)．…（12分）
點評：本題主要考查了利用奇函數(shù)的定義求解函數(shù)解析式及函數(shù)的單調(diào)性的定義在單調(diào)性的判斷中的應(yīng)用，要注意基本運算
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=x2-(a+
1
a
)x+1
（Ⅰ）當(dāng)a=
1
2
時，解不等式f（x）≤0；
（Ⅱ）若a＞0，解關(guān)于x的不等式f（x）≤0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=
x2(x＞0)
e(x=0)
0(x＜0)
，則f{f[f（-2）]}=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=
x2，x＞0
f(x+1)，x≤0
則f(2)+f(-1)=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）對定義域中任意x，均滿足f（x）+f（2a-x）=2b，則稱函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（a，b）對稱；
（1）已知f(x)=
x2-mx+1x
的圖象關(guān)于點（0，1）對稱，求實數(shù)m的值；
（2）已知函數(shù)g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的圖象關(guān)于點（0，1）對稱，且當(dāng)x∈（0，+∞）時，g（x）=-2x-n（x-1），求函數(shù)g（x）在x∈（-∞，0）上的解析式；
（3）在（1）（2）的條件下，若對實數(shù)x＜0及t＞0，恒有g(shù)（x）+tf（t）＞0，求正實數(shù)n的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=x2，g(x)=(
1
2
)x-m，若對任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），則實數(shù)m的取值范圍是
m≥
1
4
m≥
1
4
．

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