Question

已知拋物線y²=8x與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1有公共焦點(diǎn)F，且橢圓過點(diǎn)D（-

2

，

3

）．
（1）求橢圓方程；
（2）點(diǎn)A、B是橢圓的上下頂點(diǎn)，點(diǎn)C為右頂點(diǎn)，記過點(diǎn)A、B、C的圓為⊙M，過點(diǎn)D作⊙M的切線l，求直線l的方程；
（3）過點(diǎn)A作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于點(diǎn)P、Q，則直線PQ是否經(jīng)過定點(diǎn)，若是，求出該點(diǎn)坐標(biāo)，若不經(jīng)過，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y²=8x與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1有公共焦點(diǎn)F，確定c=2，利用橢圓過點(diǎn)D（-

2

，

3

），代入橢圓方程，求出a，b，即可求橢圓方程；
（2）確定⊙M的方程，分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求得直線l的方程；
（3）設(shè)AP、AQ的方程代入橢圓方程，求得P，Q的坐標(biāo)，可得直線PQ的方程，令x=0，即可得到直線PQ過定點(diǎn)．

解答：解：（1）拋物線y²=8x的焦點(diǎn)F（2，0），
∵拋物線y²=8x與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1有公共焦點(diǎn)F，∴c=2，
又橢圓過點(diǎn)D（-

2

，

3

），∴

2

a2

+

3

a2-4

=1，得a²=8，b²=4
∴所求橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）由題意，A（0，2），B（0，-2），C（2

2

，0），則
設(shè)M（m，0），由|MA|=|MC|，可得m²+4=（2

2

-m）²，∴m=

2

2

，m²+4=

9

2

，
∴⊙M：（x-

2

2

）²+y²=

9

2

直線l斜率不存在時，x=-

2

直線l斜率存在時，設(shè)為y-

3

=k（x+

2

）
∴d=

| 2 k 2 + 2 k+ 3 |

k2+1

=

3

2

，解得k=-

6

12

∴直線l為x=-

2

或

6

x+12y-10

3

=0；
（3）顯然，兩直線斜率存在，設(shè)AP：y=k′x+2
代入橢圓方程，得（1+2k′²）x²+8k′x=0，解得x=

-8k′

1+2k′2

或x=0
∴點(diǎn)P（

-8k′

1+2k′2

，

2-4k′2

1+2k′2

）
同理得Q（

8k′

2+k′2

，

2k′2-4

2+k′2

）
直線PQ：y-

2-4k′2

1+2k′2

=

k′2-1

3k′

（x-

-8k′

1+2k′2

）             
令x=0，得y=

2-4k′2

1+2k′2

-

k′2-1

3k′

•

-8k′

1+2k′2

=-

2

3

，
∴直線PQ過定點(diǎn)（0，-

2

3

）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線恒過定點(diǎn)，屬于中檔題．