Question

4．已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，E為AA₁中點(diǎn)，則異面直線BE與CD₁所形成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• B． $\frac{1}{5}$
• C． $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 由BA₁∥CD₁，知∠A₁BE是異面直線BE與CD₁所形成角，由此能求出異面直線BE與CD₁所形成角的余弦值．

解答 解：∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，E為AA₁中點(diǎn)，
∴BA₁∥CD₁，∴∠A₁BE是異面直線BE與CD₁所形成角，
設(shè)AA₁=2AB=2，
則A₁E=1，BE=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
A₁B=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴cos∠A₁BE=$\frac{{A}_{1}{B}^{2}+B{E}^{2}-{A}_{1}{E}^{2}}{2•{A}_{1}B•{B}_{\;}E}$
=$\frac{5+2-1}{2×\sqrt{5}×\sqrt{2}}$
=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴異面直線BE與CD₁所形成角的余弦值為$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．