Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=90°，BC∥AD，AB=BC=1，AD=2，異面直線AD₁與BC所成角為45°．
（1）求證：AC⊥平面CC₁D₁D；
（2）求直線DD₁與平面ACD₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要證AC⊥平面CC₁D₁D，易知AC⊥D₁D，所以只需證明AC⊥CD，運(yùn)用勾股定理計(jì)算可證；
（2）由（1）知AC⊥平面CC₁D₁D，則在平面CC₁D₁D內(nèi)作DH⊥CD₁，易證DH⊥平面ACD₁，則∠DD₁C即為直線DD₁與平面ACD₁所成角，通過解直角三角形即可求得其正弦值；

解答：解：（1）由已知得，D₁D⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，
所以 AC⊥D₁D，
又∠BAD=90°，BC∥AD，AB=BC=1，AD=2，
所以AC=

2

，∠CAD=45°，
所以CD=

2

，AC⊥CD，
又CD∩DD₁=D，
故AC⊥平面CC₁D₁D；
（2）因?yàn)锽C∥AD，
所以∠D₁AD為異面直線AD₁與BC所成角，即為45°，
又D₁D⊥AD，
所以D₁D=AD=2，
過點(diǎn)D作DH⊥CD₁，交CD₁于點(diǎn)H，
由（1）知，AC⊥DH，又AC∩CD₁=C，
所以DH⊥平面ACD₁，
故∠DD₁C是直線DD₁與平面ACD₁所成角，記為θ，
在Rt△D₁DC中，CD=

2

，CD1=

6

，
所以sinθ=

CD

CD1

=

2

6

=

3

3

；

點(diǎn)評：本題考查線面垂直的判定及直線與平面所成的角的求解，考查學(xué)生的推理論證能力，考查學(xué)生的空間想象能力，解決（2）問的關(guān)鍵是作出線面角》