Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（y）=f（x+y），當(dāng)x＜0時f（x）＜0，f（1）=2；
（1）求證：f（x）為奇函數(shù)；
（2）求f（x）在[-3，3]的最值；
（3）當(dāng)t＞2時，f（klog₂t）+f（log2t-lo

g

2 2

-2）＜0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，即可證明函數(shù)的奇偶性；
（2）先證明f（x）為R上的減函數(shù)，再求f（x）在[-3，3]的最值；
（3）分離參數(shù)求最值，即可求實數(shù)k的取值范圍．

解答：（1）證明：令x=y=0，可得f（0）+f（0）=f（0），∴f（0）=0
令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（-x）=-f（x），∴f（x）為奇函數(shù)；
（2）解：令x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，
∵當(dāng)x＜0時f（x）＜0，∴f（x₁-x₂）＜0
∴f（x₁）+f（-x₂）＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）為R上的減函數(shù)
∵f（1）=2，∴f（2）=f（1）+f（1）=4，f（3）=f（2）+f（1）=6，
∴f（-3）=-f（3）=-6
∴在[-3，3]上f（x）_max=6，f（x）_min=-6；
（3）解：t＞2時，f（klog₂t）+f（log2t-lo

g

2 2

-2）＜0恒成立，即f（log2t-lo

g

2 2

-2）＜f（-klog₂t）恒成立，
∴t＞2時，log2t-lo

g

2 2

-2＞-klog₂t恒成立，
∴t＞2時，1+k＞

3

log2t

恒成立，
∴k＞2．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查函數(shù)的值域，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．