Question

設函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c，給出以下四個命題：
①當c=0時，有f（-x）=-f（x）成立；　　　 ②當b=0，c＞0時，方程f（x）=0，只有一個實數(shù)根；
③函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（0，c）對稱 ④當x＞0時，函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c，．
其中正確的命題的序號是________．

Answer 1

①②③
分析：①c=0，f（-x）=-x|-x|-bx=-x|x|-bx=-f（x），由奇函數(shù)的定義判斷
②b=0，c＞0，f（x）=x|x|+c=，根據(jù)函數(shù)的圖象可得結論；
③因為f（x）=|x|x+bx為奇函數(shù)，所以圖象關于（0，0）對稱，而f（x）=|x|x+bx+c是把f（x）=|x|x+bx向上或向下平移了|c|各單位，故可得結論；
④當x＞0時，函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c=x²+bx+c，若b≤0，則f（x）有最小值．
解答：①c=0，f（x）=x|x|+bx，f（-x）=-x|-x|+b（-x）=-f（x），故①正確；
②b=0，c＞0，f（x）=x|x|+c=，因為c＞0，所以當x＞0時，函數(shù)頂點在x軸上方且開口向上，圖象與x軸無交點，當x＜0時，圖象頂點在x軸上方且開口向下，圖象與x軸只有一個交點，故方程f（x）=0只有一個實數(shù)根，命題②正確；
③因為f（x）=|x|x+bx為奇函數(shù)，所以圖象關于（0，0）對稱，而f（x）=|x|x+bx+c是把f（x）=|x|x+bx向上或向下平移了|c|各單位，所以y=f（x）的圖象關于點（0，c）對稱，故命題③正確；
④當x＞0時，函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c=x²+bx+c，若b≤0，則f（x）有最小值，故④不正確
綜上，正確的命題的序號是①②③
故答案為：①②③
點評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、對稱性及函數(shù)圖象在解題中的運用，要求考生熟練掌握函數(shù)的性質，并能靈活運用性質求解．