Question

在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F。設(shè)過點T（t，m）的直線TA、TB與此橢圓分別交于點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中m>0，y₁>0，y₂<0。

（I）設(shè)動點P滿足PF²-PB²=4，求點P的軌跡；
（Ⅱ）設(shè)x₁=2，x₂=，求點T的坐標；
（Ⅲ）設(shè)t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關(guān)）。

Answer 1

解：（I）由題設(shè)得A（-3，0），B（3，0），F(xiàn)（2，0）
設(shè)點P（x，y）
則PF²=（x-2）²+y²，PB²=（x-3）²+y²
由PF²-PB²=4，得（x-2）²+y²+（x-3）²-y²=4
得
故所求點P的軌跡為直線為；

（Ⅱ）由，及得
則點
從而直線AM的方程為
由及得
則點
從而直線BN的方程為
由
解得
所以點T的坐標為；
（Ⅲ）由題設(shè)知，直線AT的方程為
直線BT的方程為
點滿足

得
因為
則
解得
從而得
點滿足
解得
若，則由及
得
此時直線MN的方程為x=1，過點D（1，0）；
若，則
直線MD的斜率
得k_MD=k_ND
所以直線MN過D點
因此，直線MN必過x軸上的點（1，0）。