Question

17．在直角坐標(biāo)系xOy中，將曲線$C：\left\{\begin{array}{l}x=1+cost\\ y=\frac{1}{2}sint\end{array}\right.$（t為參數(shù)）上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到曲線C₁；以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$2ρcos（θ-\frac{π}{6}）=3\sqrt{3}$．
（1）求曲線C₁的極坐標(biāo)方程；
（2）已知點(diǎn)M（1，0），直線l的極坐標(biāo)方程為$θ=\frac{π}{3}$，它與曲線C₁的交點(diǎn)為O，P，與曲線C₂的交點(diǎn)為Q，求△MPQ的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意求出曲線C₁的參數(shù)方程，從而得到曲線C₁的普通方程，由此能求出曲線C₁的極坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)點(diǎn)ρ，Q的極坐標(biāo)分別為（ρ₁，θ₁），（ρ₂，θ₂），由直線l的極坐標(biāo)方程為$θ=\frac{π}{3}$，它與曲線C₁的交點(diǎn)為O，P，分別求出O，P的極坐標(biāo)，從而求出|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=2，再由M到直線l的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，能求出△MPQ的面積．

解答 （本小題滿分10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】
解：（1）∵曲線$C：\left\{\begin{array}{l}x=1+cost\\ y=\frac{1}{2}sint\end{array}\right.$（t為參數(shù)）上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到曲線C₁，
∴由題意知，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cost}\\{y=sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴曲線C₁的普通方程為（x-1）²+y²=1，即x²+y²-2x=0，
∴曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ． …（4分）
（2）設(shè)點(diǎn)ρ，Q的極坐標(biāo)分別為（ρ₁，θ₁），（ρ₂，θ₂），
則由$\left\{\begin{array}{l}{{θ}_{1}=\frac{π}{3}}\\{{ρ}_{1}=2co{sθ}_{1}}\end{array}\right.$，得P的極坐標(biāo)為P（1，$\frac{π}{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{{θ}_{2}=\frac{π}{3}}\\{2{ρ}_{2}cos{（θ}_{2}-\frac{π}{6}）=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，得Q的極坐標(biāo)為Q（3，$\frac{π}{3}$）．
∵θ₁=θ₂，∴|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=2，
又M到直線l的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△MPQ的面積${S}_{△MPQ}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2=\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查曲線的極坐標(biāo)方程的求法，考查三角形的面積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化公式的合理運(yùn)用．