Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，都有成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）試問過點(diǎn)可作多少條直線與曲線相切？并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析，理由見解析

【解析】

（Ⅰ）首先求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)分類討論的取值范圍；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分析的正負(fù)即可求解.

（Ⅱ）由（Ⅰ）中的導(dǎo)函數(shù)討論是否在區(qū)間內(nèi)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，使即可解不等式即可.

（Ⅲ）法一：設(shè)切點(diǎn)為，求出切線方程，從而可得，令，討論的取值范圍，分析函數(shù)的的單調(diào)性以及在上的零點(diǎn)即可求解；

法二：設(shè)切點(diǎn)為，求出切線方程，從而可得，分離參數(shù)可得，令，討論的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，根據(jù)值域確定的范圍即可求解.

（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，.

（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（2）當(dāng)時(shí)，令，得.

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

（1）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，

所以在區(qū)間上，，顯然函數(shù)在區(qū)間上恒大于零；

（2）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

所以.

依題意有，解得，所以.

（3）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，

所以.

依題意有，解得，所以.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上恒大于零.

另解：當(dāng)時(shí)，顯然恒成立.

當(dāng)時(shí)，恒成立恒成立的最大值.

令，則，易知在上單調(diào)遞增，

所以最大值為，此時(shí)應(yīng)有.

綜上，的取值范圍是.

（Ⅲ）設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率，

切線方程為.

因?yàn)榍芯�過點(diǎn)，則.

即.①

令，則.

（1）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，單調(diào)遞增；

在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，

所以函數(shù)的最大值為.

故方程無解，即不存在滿足①式.

因此當(dāng)時(shí)，切線的條數(shù)為0.

（2）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，

所以函數(shù)的最小值為.

取，則.

故在上存在唯一零點(diǎn).

取，則.

設(shè)，，則.

當(dāng)時(shí)，恒成立.

所以在單調(diào)遞增，恒成立.

所以.

故在上存在唯一零點(diǎn).

因此當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)存在兩條切線.

（3）當(dāng)時(shí)，，顯然不存在過點(diǎn)的切線.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)存在兩條切線；

當(dāng)時(shí)，不存在過點(diǎn)的切線.

另解：設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率，

切線方程為.

因?yàn)榍芯�過點(diǎn)，則，

即.

當(dāng)時(shí)，無解.

當(dāng)時(shí)，，

令，則，

易知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

又，且，

故當(dāng)時(shí)有兩條切線，當(dāng)時(shí)無切線，

即當(dāng)時(shí)有兩條切線，當(dāng)時(shí)無切線.

綜上所述，時(shí)有兩條切線，時(shí)無切線.