Question

12．在側(cè)棱長(zhǎng)為a的正三棱錐S-ABC中，∠BSA=$\frac{π}{2}$，P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且P到三個(gè)側(cè)面SAB，SBC，SCA的距離為d₁，d₂，d₃．若d₁+d₂=d₃，則點(diǎn)P形成曲線的長(zhǎng)度為$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，把該三棱錐還原為棱長(zhǎng)為a的正方體中，畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形得出點(diǎn)P形成的曲線是△ABC的一條中位線，由此求出它的長(zhǎng)度．

解答 解：側(cè)棱長(zhǎng)為a的正三棱錐S-ABC中，∠BSA=$\frac{π}{2}$，
∴∠BSC=∠ASC=$\frac{π}{2}$，
把該三棱錐還原為棱長(zhǎng)為a的正方體中，如圖所示；
又P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，P到三個(gè)側(cè)面SAB，SBC，SCA的距離為d₁，d₂，d₃；
當(dāng)d₁+d₂=d₃時(shí)，點(diǎn)P在AB的中點(diǎn)與AC的中點(diǎn)所組成的△ABC的中位線上時(shí)，
滿足條件，所以點(diǎn)P形成曲線的長(zhǎng)度為$\frac{1}{2}$BC=$\frac{{\sqrt{2}a}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系與距離的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問(wèn)題，考查了空間想象能力的應(yīng)用問(wèn)題．