Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x

mx+1

的圖象過(guò)點(diǎn)（1，

2

3

），f（x₀）=

1

1005

，f（x_n-1）=x_n，n=1，2，3，…．
（1）問(wèn)數(shù)列{

1

x0

}是否是等差數(shù)列？
（2）求x₂₀₁₄的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）運(yùn)用函數(shù)f（x）=

x

mx+1

的圖象過(guò)點(diǎn)（1，

2

3

），求出函數(shù)f（x）解析式，再運(yùn)用f（x₀）=

1

1005

求出x₀=

2

2009

，可判斷數(shù)列{

1

x0

}是等差數(shù)列．
（2）運(yùn)用通項(xiàng)公式求出即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

x

mx+1

的圖象過(guò)點(diǎn)（1，

2

3

），即

1

m+1

=

2

3

，m=

1

2

；
f（x）=

2x

x+2

，由f（x₀）=

1

1005

得x₀=

2

2009

，
數(shù)列{

1

x0

}是常數(shù)列，所以數(shù)列{

1

x0

}是等差數(shù)列．
（2）由f（x_n-1）=x_n可得x_n=

2xn-1

xn-1+2

，
∵

1

xn

-

1

xn-1

=

1

2

+

1

xn-1

-

1

xn-1

=

1

2

，
∴數(shù)列{

1

xn

}是等差數(shù)列，
 

1

x0

=

2009

2

，

1

x1

=1005，
 

1

x2014

=

4023

2

，x₂₀₁₄=

2

4023

，
 x₂₀₁₄的值為

2

4023

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的函數(shù)性，遞推關(guān)系，難度較大，需要有很大的耐心，計(jì)算量．