Question

10．已知S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a₂=2，a₃=$\frac{1}{4}$，則S_n的取值范圍是[16，$\frac{128}{7}$）．

Answer 1

分析 由已知條件利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和公比，由此求出S_n，進(jìn)而能求出S_n的取值范圍．

解答 解：∵S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a₂=2，a₃=$\frac{1}{4}$，
∴$q=\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{4}}{2}$=$\frac{1}{8}$，${a}_{1}=\frac{{a}_{2}}{q}=\frac{2}{\frac{1}{8}}$=16，
∴${S}_{n}=\frac{16[1-{（\frac{1}{8}）}^{n}]}{1-\frac{1}{8}}$=$\frac{128}{7}$（1-$\frac{1}{{8}^{n}}$）＜$\frac{128}{7}$，
∴（S_n）_min=S₁=$\frac{128}{7}（1-\frac{1}{8}）$=16，
∴S_n的取值范圍是[16，$\frac{128}{7}$）．
故答案為：[16，$\frac{128}{7}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．