Question

已知點分別是橢圓的左、右焦點, 點在橢圓上上.
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
（Ⅱ）設(shè)直線若、均與橢圓相切,試探究在軸上是否存在定點,點到的距離之積恒為1?若存在,請求出點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）滿足題意的定點存在,其坐標(biāo)為或

試題分析：本題主要考查橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系等數(shù)學(xué)知識，考查分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問，法一：利用焦點坐標(biāo)求出，由于點在橢圓上，得到方程，又因為三個參量的關(guān)系得，聯(lián)立，解出，從而得到橢圓的方程；法二：利用橢圓的定義，，利用兩點間的距離公式計算得出的值，從而得到橢圓的方程；第二問，直線與橢圓聯(lián)立，由于它們相切，所以方程只有一個根，所以，同理直線與橢圓聯(lián)立得到表達(dá)式，假設(shè)存在點，利用點到直線的距離，列出表達(dá)式，將代入整理，使得到的表達(dá)式，解出的值，從而得到點坐標(biāo).
試題解析：(1)法一：由,得,            1分
                             2分
∴橢圓的方程為               4分
法二：由,得,                                   1分
   3分
∴
∴橢圓的方程為                          4分
(2)把的方程代入橢圓方程得           5分
∵直線與橢圓相切,∴,化簡得
同理把的方程代入橢圓方程也得:             7分
設(shè)在軸上存在點,點到直線的距離之積為1,則
,即,                         9分
把代入并去絕對值整理, 或者         10分
前式顯然不恒成立;而要使得后式對任意的恒成立 則,解得;
綜上所述,滿足題意的定點存在,其坐標(biāo)為或               12分