Question

設函數(shù)f（x）=log_a（1+ax）-log_a（1-ax），其中a＞0，且a≠1，
（1）當a=2時，解不等式f（x）-1＞0；
（2）當a＞1時，若關于x的不等式f（x）≥log

(8x) a

（a＞1）恒成立，求a的取值范圍；
（3）若f（x₀）=x₀-1，證明|x₀|＜1．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）log₂（1+2x）-log₂（1-2x）＞1，轉(zhuǎn)化為：

1+2x＞0 1-2x＞0 1+2x 1-2x ＞2

求解即可．
（2）log_a（1+ax）-log_a（1-ax）＞log

(8x) a

（a＞1），

8x＞0 1+ax＞0 1-ax＞0 1+ax 1-ax ≥8x

即

0＜x＜ 1 a 8ax2+(a-8)x+1≥0

即對任意的x∈[0，

1

a

]，8ax²+（a-8）x+1＞0，
8ax+

1

x

+（a-2）＞0．轉(zhuǎn)化為最值求解判斷
（3）log_a（1+ax₀）-log_a（1-ax₀）=x₀-1，即

1+ax0

1-ax0

=a x0-1，構造函數(shù)，運用單調(diào)性證明．

解答： 解；（1）當a=2時，f（x）=log₂（1+2x）-log₂（1-2x），由f（x）-1＞0得：
log₂（1+2x）-log₂（1-2x）＞1，
轉(zhuǎn)化為：

1+2x＞0 1-2x＞0 1+2x 1-2x ＞2

，
解不等式組得：

1

6

＜x＜

1

2

；
故：解不等式f（x）-1＞0為（

1

6

，

1

2

）．
（2）由f（x）≥log

(8x) a

（a＞1）
log_a（1+ax）-log_a（1-ax）＞log

(8x) a

（a＞1），

8x＞0 1+ax＞0 1-ax＞0 1+ax 1-ax ≥8x

即

0＜x＜ 1 a 8ax2+(a-8)x+1≥0

即對任意的x∈[0，

1

a

]，8ax²+（a-8）x+1＞0，
8ax+

1

x

+（a-2）＞0．
g（x）=8ax+

1

x

+（a-2）＞0的圖象在x軸上方，
g（x）_min＞0，即

a≥8 2 8a +a-2＞0

或

1＜a＜8 f( 1 a )＞0

，
解不等式得a≥8或

1＜a＜8 a＞-3

，
即a的范圍為：a＞1；
（3）∵f（x₀）=x₀-1，函數(shù)f（x）=log_a（1+ax）-log_a（1-ax），
log_a（1+ax₀）-log_a（1-ax₀）=x₀-1，
即

1+ax0

1-ax0

=a x0-1，
即-1-

2

ax0-1

=a x0-1，
構造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性可判斷-1＜x₀＜1，
不等式|x₀|＜1成立．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，運用解決復雜的求解范圍問題，難度較大．