Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D為AC的中點．
（1）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（2）設(shè)E是CC₁上一點，試確定E的位置使平面A₁BD⊥平面BDE，并說明理由．

Answer 1

證明：：（1）連接AB₁與A₁B相交于M，則M為A₁B
的中點，連接MD，又D為AC的中點，
∴B₁C∥MD，又B₁C不屬于平面A₁BD，∴B₁C∥平面A₁BD．
（2）當點E為C₁C的中點時，平面A₁BD⊥平面BDE，
∵D、E分別為AC、C₁C的中點，
∴DE∥AC₁，
∵AC₁⊥平面A₁BD，
∴DE⊥平面A₁BD，又DE?平面BDE，
∴平面A₁BD⊥平面BDE．
分析：（1）欲證B₁C∥平面A₁BD，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證B₁C與平面A₁BD內(nèi)一直線平行，連接AB₁與A₁B相交于M，根據(jù)中位線可知B₁C∥MD，又B₁C不屬于平面A₁BD，滿足定理所需條件；
（2）當點E為C₁C的中點時，平面A₁BD⊥平面BDE，欲證平面A₁BD⊥平面BDE，根據(jù)中位線定理可知DE∥AC₁，而AC₁平面A₁BD，則DE⊥平面A₁BD，又DE?平面BDE，滿足定理所需條件．
點評：本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì)和線面平行的推導(dǎo)．在證明線面平行時，其常用方法是在平面內(nèi)找已知直線平行的直線．當然也可以用面面平行來推導(dǎo)線面平行．