Question

已知數(shù)列{a_n}，如果數(shù)列{b_n}滿足，則稱數(shù)列{b_n}是數(shù)列{a_n}的“生成數(shù)列”
（1）若數(shù)列{a_n}的通項為a_n=n，寫出數(shù)列{a_n}的“生成數(shù)列”{b_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{c_n}的通項為c_n=2n+b，（其中b是常數(shù)），試問數(shù)列{c_n}的“生成數(shù)列”{l_n}是否是等差數(shù)列，請說明理由．
（3）已知數(shù)列{d_n}的通項為，設(shè)數(shù)列{d_n}的“生成數(shù)列”{p_n}的前n項和為T_n，問是否存在自然數(shù)m滿足滿足（T_m-2012）（T_m-6260）≤0，若存在請求出m的值，否則請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)“生成數(shù)列”的定義，數(shù)列{b_n}滿足，結(jié)合數(shù)列{a_n}的通項為a_n=n，遞推可得結(jié)論；
（2）根據(jù)“生成數(shù)列”的定義，結(jié)合數(shù)列{c_n}的通項為c_n=2n+b，（其中b是常數(shù)），求出數(shù)列{c_n}的“生成數(shù)列”{l_n}，利用等差數(shù)列的定義判斷后可得結(jié)論；
（3）根據(jù)“生成數(shù)列”的定義，結(jié)合數(shù)列{d_n}的通項為，求出數(shù)列{d_n}的“生成數(shù)列”{p_n}的前n項和為T_n，解不等式可得m的值．
解答：解：（1）∵數(shù)列{b_n}滿足，
數(shù)列{a_n}的通項為a_n=n，
∴3分
綜合得：b_n=2n-14分
（2）6分
當b=0時，l_n=4n-2，由于l_n+1-l_n=4（常數(shù)）
所以此時數(shù)列{c_n}的“生成數(shù)列”{l_n}是等差數(shù)列            8分
當b≠0時，由于c₁=2+b，c₂=6+2b，c₃=10+2b，9分
此時c₁+c₃≠2c₂，
∴此時數(shù)列{c_n}的“生成數(shù)列”{l_n}不是等差數(shù)列．        10分
（3）11分
當n=1時，T_n=p₁=312分
當n≥2時
=3+（3•2+3•2²+…+3•2^n-1）+（3+5+…+2n-1）
=3•2ⁿ+n²-4，14分
所以，15分
若（T_m-2012）（T_m-6260）≤0，則2012≤T_n≤626016分
由于{T_n}對于一切自然數(shù)是增函數(shù)，
T₉=1613＜2012，T₁₀=3168＞2013T₁₁=6261＞6260
所以存在唯一的自然數(shù)m=10滿足若（T_m-2012）（T_m-6260）≤0成立            18分．
點評：本題考查的知識識是數(shù)列與不等式，等差關(guān)系的確定，數(shù)列的遞推式，是數(shù)列知識較為綜合的應(yīng)用，還涉及新定義，較難理解，屬于難題．